On the combinatorial invariance of Kazhdan-Lusztig polynomials

We prove that the Kazhdan-Lusztig polynomials are combinatorial invariants for intervals up to length 8 in Coxeter groups of type A and up to length 6 in Coxeter groups of type B and D. As a consequence of our methods, we also obtain a complete classification, up to isomorphism, of Bruhat intervals of length 7 in type A and of length 5 in types B and D, which are not lattices. Résumé. On montre que les polynômes de Kazhdan-Lusztig sont invariants combinatoires pour les intervaux de longueur jusqu’à 8 pour les groupes de Coxeter de type A et de longueur jusqu’à 6 pour les groupes de Coxeter de type B et D. Comme conséquence de nos méthodes, on obtient aussi une classification complète, à isomorphisme près, des intervaux de Bruhat de longueur 7 pour le type A et de longueur 5 pour les types B et D, qui ne sont pas des réseaux.